Question

在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
小题1:求点B的坐标；
小题2:已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
小题3:点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

小题1:如图，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
小题2:因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，
得 解得，．所以直线DE的解析式为．
小题3:由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如图，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．

此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．
②如图，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．

由△NPO∽△DOF，得，
即．
解得，．此时点N的坐标为．

（1）作BH⊥x轴，构建矩形，在直角三角形中求得BH=6，从而求得点B的坐标为(3,6)。
（2）待定系数法求得直线解析式。
（3）综合性较强，考虑全面是正确解题的关键。