题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c过点B(3,0),C(0,3),D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;

(2)点C关于抛物线y=x2+bx+c对称轴的对称点为E点,联结BC,BE,求CBE的正切值;

(3)点M是抛物线对称轴上一点,且DMB和BCE相似,求点M坐标.

【答案】(1)y=x2+2x+3,(1,4);(2);(3)(1,)或(1,2).

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式,根据二次函数的性质解答即可;

(2)过点E作EHBC于点H,根据轴对称的性质求出点E的坐标,根据三角形的面积公式求出EH、BH,根据正切的定义计算即可;

(3)分两种情况,计算即可.

试题解析:(1)抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)和点C(0,3)

解得

抛物线解析式为y=x2+2x+3,

y=x2+2x+3=(x1)2+4,

抛物线顶点D的坐标为(1,4),

(2)由(1)可知抛物线对称轴为直线x=1,

点E与点C(0,3)关于直线x=1对称,

点E(2,3),

过点E作EHBC于点H,

OC=OB=3,

BC=

,CE=2,

解得EH=

∵∠ECH=CBO=45°

CH=EH=

BH=2

在RtBEH中,

(3)当点M在点D的下方时

设M(1,m),对称轴交x轴于点P,则P(1,0),

BP=2,DP=4,

CBE、BDP均为锐角,

∴∠CBE=BDP,

∵△DMB与BEC相似,

DM=4m,

解得,

点M(1,

,则

解得m=2,

点M(1,2),

当点M在点D的上方时,根据题意知点M不存在.

综上所述,点M的坐标为(1,)或(1,2).

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