题目内容
【题目】如图，在ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M． 
（1）试说明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
【答案】
（1）解：方法一：如图①，
∵在ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
方法二：如图②，延长BC、AE相交于点P，
∵在ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴AB=BP．
∵BF平分∠ABP，
∴AP⊥BF，
即AE⊥BF
（2）解：方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
∵在ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．
同理可得，CF=BC．
又∵在ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE﹣EF=CF﹣EF．
即DF=CE．
方法二：如图，延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O，
∵在ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB．
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB．
∴∠APB=∠PAB．
∴BP=AB．
同理可得，AO=AB．
∴AO=BP．
∵在ABCD中，AD=BC，
∴OD=PC．
又∵在ABCD中，DC∥AB，
∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．
∴ 
= 
， 
= 
．
∴DF=CE．
【解析】（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB= 
∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得证．（2）两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量减等量差相等，可证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解角平分线的性质定理(定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上)，还要掌握平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)的相关知识才是答题的关键．
