Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E,EF∥AC于F。

（1）求证：△EDF∽△ADE；

（2）猜想：线段DC、DF、DA之间存在什么关系？并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）,理由见解析.

【解析】（1）利用垂直的定义和平行线的性质可证明∠DFE=∠DEA=90°，则利用相似三角形的判定方法可判断△EDF∽△ADE；

（2）由于△EDF∽△ADE，则利用相似比可得到DE2=DE×DA，再利用角平分线的性质定理得到DE=DC，从而得到线段DC，DF、DA之间的关系.

（1）证明：∵EF//BC

∴∠EFD=∠C=90°

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=∠EFD=90°

又∵∠EDF=∠ADE

∴∽

（2）

∵∠C=∠DEB=90°，BD平分∠ABC

∴DE=DC

由（1）得∽

∴

∴

∴

“点睛”本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，解决本题的关键是利用相似三角形比得到DE、DF、DA的关系.