Question

【题目】【阅读发现】如图①，在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，且DE=BD，可知AB=CE．

【类比探究】如图②，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．判断AF与BE的数量关系，并加以证明．

【推广应用】在图②中，若AB=4，BF=，则△AGE的面积为　 　．

Answer 1

【答案】【阅读发现】理由见解析；【类比探究】AF=BE，理由见解析；【推广应用】．

【解析】试题分析：【阅读发现】证明△ACD是等腰直角三角形，得出AD=CD，由SAS证明△ABD≌△CED，即可得出AB=CE；

【类比探究】由AAS证明△ABF≌△BCE，即可得出AF=BE；

【推广应用】由勾股定理求出BD= =4，得出OA=OB=OC=BD=2，求出OF=OB﹣BF=，由勾股定理得出AF= =，由ASA证明△OBE≌△OAF，得出OE=OE=，求出AE=OA+OE=3，证明△AOF∽△AGE，得出对应边成比例求出GE= ，AG= ，即可得出△AGE的面积．

试题解析：【阅读发现】∵AD⊥BC，∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，

∴AD=CD，

在△ABD和△CED中， ，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴AB=CE；

【类比探究】AF=BE；理由如下：

∵正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠BAD=90°，∠ABF=∠BCE=45°，AC⊥BD，OA=OB=OC，

∵AG⊥BE，

∴∠FAD+∠AFO=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FAO+∠AEG=90°，

∴∠AFO=∠AEG，

∵∠AFB=∠FAO+90°，

∴∠AFB=∠BEC，

在△ABF和△BCE中， ，

∴△ABF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE；

【推广应用】∵AB=AD=4，∠BAD=90°，

∴BD= =4，

∴OA=OB=OC= BD=2，

∵BF=，

∴OF=OB﹣BF=，

∴AF= = ，

由角的互余性质得：∠OAF=∠OBE，

在△OBE和△OAF中， ，

∴△OBE≌△OAF（ASA），

∴OE=OE=，

∴AE=OA+OE=3，

∵∠OAF=∠GAE，∠AOF=∠AGE=90°，

∴△AOF∽△AGE，

∴ ，即 ，

解得：GE= ，AG= ，

∴△AGE的面积=AGGE=××=；

故答案为： ．