Question

如果x₁，x₂分别是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，请你解决下列问题：
（1）推导根与系数的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

；
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两个实根，利用根与系数的关系求（x₁-x₂）²的值；
（3）已知sina，cosa（0°＜a＜90°）是关于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的两个根，求角a的度数．

Answer 1

分析：（1）先根据求根公式得到x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，然后求他们的和与积；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，再变形（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后理由整体代入的方法计算；
（3）根据根与系数的关系得到sinα+cosα=

3 +1

2

，sinα•cosα=

m

2

，根据三角函数的关系得到（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
则（

3 +1

2

）²=1+2×

m

2

，解得m=

3

2

，再把m代入原方程，解方程得到x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，则sinα=

1

2

或sinα=

3

2

，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．

解答：解：（1）∵x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴：x₁+x₂=-

b

2a

-

b

2a

=-

b

a

，x₁x₂=

(-b)2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

；
（2）根据题意得：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）由题意得，sinα+cosα=

3 +1

2

，sinα•cosα=

m

2

，
∵（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
∴（

3 +1

2

）²=1+2×

m

2

∴m=

3

2

，
原方程变为2x²-（

3

+1）x+

3

2

=0，解这个方程得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
∴sinα=

1

2

或sinα=

3

2

，
∴α=30°或60°．

点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函数值．