题目内容

已知:在直角坐标系中,A、B两点是抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴的交点(A在B的右侧),x1、x2分别是A、B两点的横坐标,且|x1-x2|=3.
(1)当m>0时,求抛物线的解析式.
(2)如果(1)中所求的抛物线与y轴交于点C,问y轴上是否存在点D(不含与C重合的点),使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点,且当k>0时,图象与两坐标轴所围成的面积是
1
5
,求一次函数的解析式.
(1)x2-(m-3)x-m=0,
x1+x2=m-3,x1•x2=-m,
∵|x1-x2|=3,
∴(x1+x22-4x1•x2=9,
∴(m-3)2+4m=9,
∵m>0,
∴m=2,
∴y=x2+x-2=0.
答:当m>0时,抛物线的解析式是y=x2+x-2.

(2)x2+x-2=0,
x1=-2,x2=1,
∴A(1,0),
即OA=1,
把x=0代入得:y=-2,
∴OC=2,
∵以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似,
∠AOC=∠AOD,
OA
OA
=
OD
OC
AO
OC
=
OD
OA

代入求出OD=OC=2,或OD=
1
2

∴D的坐标是(0,2)或(0,
1
2
).
答:存在点D(不含与C重合的点),使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似,D点的坐标是(0,2)或(0,
1
2
).

(3)当x=0时,y=b,
当y=0时,x=-
b
k

∴|
1
2
b•(-
b
k
)|=
1
5
,①
y=x2+x-2=(x+
1
2
)
2
-
9
4

∴顶点坐标是(-
1
2
,-
9
4
),
代入y=kx+b得:-
9
4
=-
1
2
k+b ②,
由①②组成方程组,解方程组得:
k=7.9
b=3.7
k=2.7
b=1.1

∴y=7.9x+3.7,y=2.7x+1.1.
答:一次函数的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1.
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