题目内容

如果x₁，x₂分别是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，请你解决下列问题：
（1）推导根与系数的关系：x₁+x₂=- $数学公式$ ，x₁x₂= $数学公式$ ；
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两个实根，利用根与系数的关系求（x₁-x₂）²的值；
（3）已知sina，cosa（0°＜a＜90°）是关于x的方程2x²-（ $数学公式$ ）x+m=0的两个根，求角a的度数．

解：（1）∵x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∴：x₁+x₂=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）根据题意得：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）由题意得，sinα+cosα= $\text{[math]}$ ，sinα•cosα= $\text{[math]}$ ，
∵（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
∴（ $\text{[math]}$ ）²=1+2× $\text{[math]}$
∴m= $\text{[math]}$ ，
原方程变为2x²-（ $\text{[math]}$ +1）x+ $\text{[math]}$ =0，解这个方程得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∴sinα= $\text{[math]}$ 或sinα= $\text{[math]}$ ，
∴α=30°或60°．
分析：（1）先根据求根公式得到x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，然后求他们的和与积；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，再变形（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后理由整体代入的方法计算；
（3）根据根与系数的关系得到sinα+cosα= $\text{[math]}$ ，sinα•cosα= $\text{[math]}$ ，根据三角函数的关系得到（siα+coα）²=sin²α+2sinα•cosα+cos²α=1+2sinα•cosα，
则（ $\text{[math]}$ ）²=1+2× $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ ，再把m代入原方程，解方程得到x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，则sinα= $\text{[math]}$ 或sinα= $\text{[math]}$ ，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．
点评：本题考查了根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．也考查了因式分解法解一元二次方程和特殊角的三角函数值．