题目内容
如图所示,已知在直角梯形中,轴于点.动点从点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点作垂直于直线,垂足为.设点移动的时间为秒(),与直角梯形重叠部分的面积为.
(1)求经过三点的抛物线解析式;
(2)求与的函数关系式;
(3)将绕着点顺时针旋转,是否存在,使得的顶点或在抛物线上?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
(1)求经过三点的抛物线解析式;
(2)求与的函数关系式;
(3)将绕着点顺时针旋转,是否存在,使得的顶点或在抛物线上?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)法一:由图象可知:抛物线经过原点,
设抛物线解析式为. 把,代入上式得:-----1分
解得------------3分
∴所求抛物线解析式为----------4分
法二:∵,, ∴抛物线的对称轴是直线.
设抛物线解析式为()--------1分
把,代入得 解得-----------3分
∴所求抛物线解析式为-------4分
(2)分三种情况:
①当,重叠部分的面积是,过点作轴于点,
∵,在中,,,在中,,
,
∴,
∴-------6分
②当,设交于点,作轴于点,
,则四边形是等腰梯形,重叠部分的面积是.
∴,
∴----8分
③当,设与交于点,交于点,重叠部分的面积是.
因为和都是等腰直角三角形,所以重叠部分的面积是
.
∵,,
∴,
∴,
∴
.------10分 (注:也可用S梯形AOPM-S∆NCP)
(3)存在 -------11分
--------12分
设抛物线解析式为. 把,代入上式得:-----1分
解得------------3分
∴所求抛物线解析式为----------4分
法二:∵,, ∴抛物线的对称轴是直线.
设抛物线解析式为()--------1分
把,代入得 解得-----------3分
∴所求抛物线解析式为-------4分
(2)分三种情况:
①当,重叠部分的面积是,过点作轴于点,
∵,在中,,,在中,,
,
∴,
∴-------6分
②当,设交于点,作轴于点,
,则四边形是等腰梯形,重叠部分的面积是.
∴,
∴----8分
③当,设与交于点,交于点,重叠部分的面积是.
因为和都是等腰直角三角形,所以重叠部分的面积是
.
∵,,
∴,
∴,
∴
.------10分 (注:也可用S梯形AOPM-S∆NCP)
(3)存在 -------11分
--------12分
略
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