Question

已知关于x的方程，
（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根；（4分）
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长.（6分）

Answer 1

（1）证明见解析；（2）7或8．

试题分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．
试题解析：（1）∵，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
（2）分两种情况：
①若b=c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，解得k=2.
∴此时方程为=0，解得x₁=x₂=2.
∴△ABC的周长为7.
②若b≠c，则b=a=3或c=a=3，即方程有一根为3，
∵把x=1代入方程，得，解得k=3.
∴此时方程为，解得x₁=2，x₂="3" ∴方程另一根为2.
∴△ABC的周长为8．
综上所述，所求△ABC的周长为7或8．