题目内容

观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
$数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$
（1）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值： $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴第n的一个式子可以表示为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n≥1的整数）．
证明：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n≥1的整数）．
（2）原式=[（ $\text{[math]}$ -1）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）]（ $\text{[math]}$ ）
=[ $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]（ $\text{[math]}$ ）
=[ $\text{[math]}$ -1]（ $\text{[math]}$ ）
=2007．
分析：（1）本题是一道规律题，很容易发现相邻的两个实数的和倒数就是这两个相邻实数的差．从而求出其值．
（2）利用（1）的结论进行化简，然后运用平方差公式计算就可以了．
点评：本题考查分母有理化的运用，平方差公式的运用，在解答中注意观察题目的变化规律，运用规律解答能使运算简便，并且得心应手．