Question

观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 + 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

…
（1）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：(

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2008 + 2007

)•(

2008

+1)．

Answer 1

分析：（1）本题是一道规律题，很容易发现相邻的两个实数的和倒数就是这两个相邻实数的差．从而求出其值．
（2）利用（1）的结论进行化简，然后运用平方差公式计算就可以了．

解答：解：（1）∵

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，

1

4 + 3

=

4

-

3

，

1

5 + 4

=

5

-

4

…
∴第n的一个式子可以表示为：

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

（n≥1的整数）．
证明：∵

1

n+1 + n

=

n+1 - n

( n+1 + n )( n+1 - n )

=

n+1 - n

n+1-n

=

n+1

-

n

．
∴

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

（n≥1的整数）．
（2）原式=[（

2

-1）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

2008

-

2007

）]（

2008

+1）
=[

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2008

-

2007

]（

2008

+1）
=[

2008

-1]（

2008

+1）
=2007．

点评：本题考查分母有理化的运用，平方差公式的运用，在解答中注意观察题目的变化规律，运用规律解答能使运算简便，并且得心应手．