题目内容
已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图9：当P在BC的延长线上时，如图10）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：
①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON
(2) 设AB=4，BP=
，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积
与
的函数关系。
证明：对于图1，
（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠DCP=90。，△DCP为Rt△，
同理：△CBN为Rt△，
而CM⊥DP
∴∠PCM=∠CDP
在Rt△DCP与Rt△CBN中：
∠DCP=∠CBN=90。
∠CDP=∠PCN,
CD=BC
∴Rt△DCP≌Rt△CBN
∴CP=BN
②而∠OCP=∠OBN=45。
OC=OB
∴△COP≌△BON
∴ON=OP ∠COP=∠BON
又∵OC⊥OB
∴∠COB=∠COP+∠POB=90。
=∠BON+∠POB=90。
∴ON⊥OP
（2）S四边形OPBN=S△ONB+S△OPB
=
=4 (0<x≤4)
对于图2，
（1）①∵ABCD为正方形，AC，BD为对角线∴∠DCP=90。，
而CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC
∴∠PDB=∠ACN
又∵∠DPB=∠ANC
BD=AC
∴△PDB≌△NCA
∴PB=AN DP=CN
∴CP=BN
② 而∠PDB=∠ACN
且 OD=OC
∴△PDO≌△NCO
∴OP=ON，∠DOP=∠CON
∵∠DOC=90。 ，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC
=∠DOC=90。 ，∴OP⊥ON。
（2）S四边形OBNP=S△OBP+S△PBN
(x≥4)
（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠DCP=90。，△DCP为Rt△，
同理：△CBN为Rt△，
而CM⊥DP
∴∠PCM=∠CDP
在Rt△DCP与Rt△CBN中：
∠DCP=∠CBN=90。
∠CDP=∠PCN,
CD=BC
∴Rt△DCP≌Rt△CBN
∴CP=BN
②而∠OCP=∠OBN=45。
OC=OB
∴△COP≌△BON
∴ON=OP ∠COP=∠BON
又∵OC⊥OB
∴∠COB=∠COP+∠POB=90。
=∠BON+∠POB=90。
∴ON⊥OP
（2）S四边形OPBN=S△ONB+S△OPB
=
=4 (0<x≤4) 对于图2，
（1）①∵ABCD为正方形，AC，BD为对角线∴∠DCP=90。，
而CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC
∴∠PDB=∠ACN
又∵∠DPB=∠ANC
BD=AC
∴△PDB≌△NCA
∴PB=AN DP=CN
∴CP=BN
② 而∠PDB=∠ACN
且 OD=OC
∴△PDO≌△NCO
∴OP=ON，∠DOP=∠CON
∵∠DOC=90。 ，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC
=∠DOC=90。 ，∴OP⊥ON。
（2）S四边形OBNP=S△OBP+S△PBN
(x≥4)
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