题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），
过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．（1）在△ABC中，AB=
（2）当x=
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．
分析：（1）利用勾股定理求AB；
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到
=
，
=
，将AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式．再由矩形周长=2（PM+PN），求出x的值．
（3）当P为AB的中点时，△PAM的面积与△PBN的面积才相等，再求出矩形PMCN的面积，进行判断．
（2）利用MP∥BC和NP∥AC，可得到
| PM |
| BC |
| AP |
| AB |
| PN |
| AC |
| BP |
| AB |
代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式．再由矩形周长=2（PM+PN），求出x的值．
（3）当P为AB的中点时，△PAM的面积与△PBN的面积才相等，再求出矩形PMCN的面积，进行判断．
解答：解：（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=
=
=10．
（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴
=
，
=
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴PM=
=
x=
x
PN=
=
(10-x)=
=8-
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（
x+8-
x）=14．
∴x=5．
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=
AM•MP=
×4×3=6，
而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．
∴AB=
| AC2+BC2 |
| 82+62 |
（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴
| PM |
| BC |
| AP |
| AB |
| PN |
| AC |
| BP |
| AB |
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴PM=
| BC•AP |
| AB |
| 6 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
PN=
| AC•BP |
| AB |
| 8 |
| 10 |
| 4(10-x) |
| 5 |
| 4x |
| 5 |
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴x=5．
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=90°，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．
点评：本题考查了相似三角形性质、面积和矩形面积．
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