Question

如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．

（1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求PD的长．

Answer 1

（1）相切；（2）

试题分析：（1）连接OA，先根据圆周角定理求得∠AOC的度数，再根据圆的基本性质求得∠ACP、∠CAO的度数，即可求得∠AOP的度数，再结合AP＝AC可求得∠P的度数，即可作出判断；
（2）连接AD，由CD是⊙O的直径可得∠CAD＝90°，再根据30°角的正切函数可求得AD的长，由∠ADC＝∠B＝60°，可求得∠PAD的度数，从而可以求得结果．
（1）连接OA

∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACP＝∠CAO＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝90°，
∴OA⊥AP，
∴AP是⊙O的切线；
（2）连接AD
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴AD＝AC•tan30°＝3×＝，
∵∠ADC＝∠B＝60°，
∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，
∴∠P＝∠PAD，
∴PD＝AD＝．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．