题目内容
【题目】如图
，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在
上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：
AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究
，
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由详见解析.
【解析】
试题分析：(1)易证△ABD为等腰直角三角形，即可判定BD是该外接圆的直径；（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，再证△ACE为等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得
；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋B，所以C＝DC＋BC＝
；（3）延长MB交圆于点E，连结AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得
，再证∠BED=90°，在RT△MED中，有
，所以
.
试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB， ∴∠ADB＝∠ACB
又∵∠ACB＝∠ABD＝45° ∴∠ABD＝∠ADB＝45°
∴∠BAD＝90° ∴△ABD为等腰直角三角形
∴BD是该外接圆的直径
（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E
∵∠ACB＝45°，CA⊥AE
∴△ACE为等腰直角三角形 ∴AC＝AE
由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2 ∴
由（1）可知△ABD 为等腰直角三角形
∴AB＝AD ∠BAD＝90° 又∵∠EAC＝90°
∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC ∴∠EAB＝∠DAC
∴在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC（SAS）
∴BE＝DC
∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝
（3）DM2＝BM2＋2MA2
延长MB交圆于点E，连结AE、DE
∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°
∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°
∴
又∵AC=MA=AE
∴
=
又∵
=
∴－＋
=－＋
即
=
∴DE=BC=MB
∵BD为直径
∴∠BED=90°
在RT△MED中，有
∴
