题目内容
（2013•潍坊）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1，若△E1FA1∽△E1BF，则AD=| 16 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DE1=A1E1=x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．
解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=
=
=8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴
=
，
即
=
，
解得DF=
x，
在Rt△DE1F中，E1F=
=
=
，
又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴
=
，
∴E1F2=A1E1•BE1，
即（
）2=x（10-3x），
解得x=
，
∴AD的长为2×
=
．
故答案为：
．
∴AC=
| AB2-BC2 |
| 102-62 |
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，
∴AE=DE=DE1=A1E1=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴
| AD |
| AC |
| DF |
| BC |
即
| 2x |
| 8 |
| DF |
| 6 |
解得DF=
| 3 |
| 2 |
在Rt△DE1F中，E1F=
| DF2+DE12 |
(
|
| ||
| 2 |
又∵BE1=AB-AE1=10-3x，△E1FA1∽△E1BF，
∴
| E1F |
| A1E1 |
| BE1 |
| E1F |
∴E1F2=A1E1•BE1，
即（
| ||
| 2 |
解得x=
| 8 |
| 5 |
∴AD的长为2×
| 8 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
故答案为：
| 16 |
| 5 |
点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
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