Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的象经过A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C。

（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；
（2）若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）因为二次函数的图象经过点
所以，可建立方程组：
解得：
所以，所求二次函数的解析式为
所以，顶点M（1，4），点C（0，3）。
（2）直线y=kx+d经过C、M两点，
所以
即k=1，d=3
直线解析式为y=x+3
令y=0，得x=-3，故D（-3，0）
∴ CD=AN=，AD=2，CN=2
∴CD=AN ，AD=CN
∴ 四边形CDAN是平行四边形。
（3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，），
则PA是圆的半径且
过P做直线CD的垂线，垂足为Q，
则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，
故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，）得PE=，PM=|4-|，PQ=
由得方程：，解得，符合题意，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）或（1，）。