Question

已知抛物线y=x²+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x=m．过点A的直线绕点A（m，0）旋转，交抛物线于点B（x，y），交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x=m交于点D，设△AOB的面积为S₁，△ABD的面积为S₂．
（1）求这条抛物线的顶点的坐标；
（2）判断S₁与S₂的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过原点，且在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，
∴c=0，A（2，0），图象与x轴的另一个交点E的坐标为（4，0），对称轴为直线x=2．
∴抛物线为y=x²+bx经过点E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x²-4x．
∴顶点坐标为（2，-4）．
答：这条抛物线的顶点的坐标是（2，-4）．

（2）答：S₁与S₂的大小关系是S₁=S₂．
证明：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-

1

2

b，
∴y=-

b

2

x+b，
∴点B₁的坐标为（x₁，-

b

2

x+b），
点B₂的坐标为（x₂，-

b

2

x+b），
当交点为B₁时，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₁+b|=b-

b

2

x₁，
S₂=

1

2

×|b|×|2-x₁|=b-

b

2

x₁，
∴S₁=S₂，
当交点为B₂时，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₂+b|=-

b

2

x₂+b，
S₂=

1

2

×|b|×|x₂-2|=-

b

2

x₂+b，
∴S₁=S₂，
综上所述，S₁=S₂．