题目内容

【题目】已知:在平面直角坐标系中,抛物线)交x轴于AB两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=―2 .

(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点,请进行如下探究:

探究一:如图1,设△PAD的面积为S,令Wt·S,当0<t<4时,W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由;

探究二:如图2,是否存在以PAD为顶点的三角形与RtAOC相似?如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

图1 图2

【答案】(1)yx2x+3.D(-2,4).(2)当t=3时,W有最大值,W最大=18.存在.只存在一点P(0,2)使RtADP与RtAOC相似.

【解析】试题分析:(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=,且已知抛物线)的对称轴为直线x=―2,故,可求出 a的值,即可写出抛物线的解析式和顶点坐标;(2)探究一:由抛物线的解析式可求x、y轴的交点的坐标,作轴于M,则,点,由可得,,当时,W有最大值,;探究二:分三种情况分析:时,作轴于E,则,则,则,又因为轴,轴,,则,则此时有,又因为,即,此时,则,所以当时,存在点P1,使,此时P1点的坐标为(0,2);时,则,则,又因为,则,所以不相似,此时点P2不存在;时,以AD为直径作,则的半径,圆心O1到y轴的距离,因为,所以与y轴相离,不存在点P3,使,
所以综合可得,只存在一点使相似。

试题解析:

(1)抛物线的对称轴为直线



(2)探究一:当时,W有最大值,
抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,


时,作轴于M,如图所示:










时,W有最大值,
探究二:存在,分三种情况:
时,作轴于E,如图所示:





轴,轴,



,,
此时,又因为



时,存在点P1,使,此时P1点的坐标为(0,2);
时,则




不相似,此时点P2不存在;
时,以AD为直径作,则的半径,圆心O1到y轴的距离
与y轴相离,不存在点P3,使
综上所述,只存在一点使相似。

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