题目内容
【题目】已知:在平面直角坐标系中,抛物线()交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=―2 .
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点,请进行如下探究:
探究一:如图1,设△PAD的面积为S,令W=t·S,当0<t<4时,W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由;
探究二:如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似?如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
图1 图2
【答案】(1)y=x2x+3.D(-2,4).(2)①当t=3时,W有最大值,W最大值=18.②存在.只存在一点P(0,2)使Rt△ADP与Rt△AOC相似.
【解析】试题分析:(1)根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=,且已知抛物线()的对称轴为直线x=―2,故,可求出 a的值,即可写出抛物线的解析式和顶点坐标;(2)探究一:由抛物线的解析式可求x、y轴的交点的坐标,作轴于M,则,点,由=可得,,当时,W有最大值,;探究二:分三种情况分析:①当时,作轴于E,则,则,则,则,又因为轴,轴,则,则,,,则此时有,又因为,即,此时,则,所以当时,存在点P1,使,此时P1点的坐标为(0,2);②当时,则,则,则,又因为,则,所以与不相似,此时点P2不存在;③当时,以AD为直径作,则的半径,圆心O1到y轴的距离,因为,所以与y轴相离,不存在点P3,使,
所以综合可得,只存在一点使与相似。
试题解析:
(1)∵抛物线的对称轴为直线,
∴,
∴,
∴,
∴;
(2)探究一:当时,W有最大值,
∵抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C,
∴,
∴,
当时,作轴于M,如图所示:
则,
∵,
∴,
∵
,
∴
∴当时,W有最大值,,
探究二:存在,分三种情况:
①当时,作轴于E,如图所示:
则,
∴
∴,
∴
∵轴,轴,
∴,
∴,
∴
∴,,
此时,又因为,
∴,
∴,
∴,
∴当时,存在点P1,使,此时P1点的坐标为(0,2);
②当时,则,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴与不相似,此时点P2不存在;
③当时,以AD为直径作,则的半径,圆心O1到y轴的距离,∵,
∴与y轴相离,不存在点P3,使,
∴综上所述,只存在一点使与相似。
【题目】探索与应用.
(1)先填写下表,通过观察后在回答问题:
①表格中x=;y=;
②从表格中探究a与 的数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:
已知 =1.8,若 =180,则a= .
已知 =5.036, =15.906,则 = .
a | … | 0.0001 | 0.01 | 1 | 100 | 10000 | … |
… | 0.01 | x | 1 | y | 100 | … |
(2)阅读例题,然后回答问题;
例题:设a、b是有理数,且满足a+ b=3﹣2 ,求a+b的值.
解:由题意得(a﹣3)+(b+2) =0,因为a、b都是有理数,所以a﹣3,b+2也是有理数,由于 是无理数,所以a﹣3=0,b+2=0,所以a=3,b=﹣2,所以a+b=3+(﹣2)=﹣1.
问题:设x、y都是有理数,且满足x2﹣2y+ y=10+3 ,求xy的值.