题目内容

【题目】如图,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,求证:AE2+AD2=2AC2 . (提示:连接BD)

【答案】证明:连结BD,
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,
∴∠ECD=∠ACB=90°,∠E=∠ADC=∠CAB=45°,
EC=DC,AC=BC,AC2+BC2=AB2
∴2AC2=AB2 . ∠ECD﹣∠ACD=∠ACB﹣∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD.
在△AEC和△BDC中,

∴△AEC≌△BDC(SAS).
∴AE=BD,∠E=∠BDC.
∴∠BDC=45°,
∴∠BDC+∠ADC=90°,
即∠ADB=90°.
∴AD2+BD2=AB2
∴AD2+AE2=2AC2
【解析】连结BD,根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC,就可以得出AE=BD,∠E=∠BDC,由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°,由勾股定理就可以得出结论.
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和等边三角形的性质,需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案.

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