Question

已知关于x的一元二次方程（m²-1）x²-6（3m-1）x+72=0．
（1）若x=1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根；
（2）求m是什么整数时，此方程有两个不相等的正实数根？

Answer 1

解：（1）设方程的另一根为a，
∵x=1是这个方程的一个根，
∴（m²-1）-6（3m-1）+72=0．
整理得：m²-18m+77=0．
解得：m=11或7，
∵1×a=，
解得a=或a=．

（2）∵m²-1≠0
∴m≠±1
∵△=36（m-3）²＞0
∴m≠3
用求根公式可得：x₁=，x₂=
∵x₁，x₂是正整数
∴m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．
分析：（1）把x=1代入方程求出a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一个根；
（2）首先根据已知条件可得m²-1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．
点评：此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．