题目内容

【题目】(1)如图,在△ABC中,∠ACB=900AC=12BC=5AM=AC,BN=BC,MN的长.

(2)如图,在△ABC中,∠ACB=900AM=AC,BN=BC

当∠A=300时,求∠MCN的度数。

当∠A的度数变化时,∠MCN的度数是否变化,如有变化,请说明理由;如不变,求∠MCN的度数.

(3)如图,在△ABC中,∠ACB=90AC=BC,MN在边AB上,且∠MCN=450,试猜想线段ANBMMN之间的数学关系,直接写出你的结论(不要求证明).

【答案】(1)MN=4 (2) MCN=45°;②∠MCN=45°(3)AN2+BM2=MN2

【解析】

1)根据勾股定理求出AB的长即可解答;

2)①由题知∠ACB=90°AM=ACBN=BC,∠A=30°,求出∠AMC和∠CNB即可求出∠MCN的度数,②分别用∠A表示出∠AMC和∠CNB,即可得出∠MCN的度数;

3)作△CAN关于CN所在直线的轴对称三角形CPN,连接MP,可证明∠MCP=MCB,即可证明△BCM≌△PCM,则MP=BM,∠MPC=B=45°,∠MPN=MPC+NPC=90°,即可得出结论.

解:(1)在RtABC中,根据勾股定理,AB=

又∵AC=12BC=5AM=ACBN=BC

AM=12BN=5

MN=AM+BN-AB=12+5-13=4

2)①∵∠A=30°,AC=AM

∴∠AMC=180°-30°)=75°,

∵∠B=60°,BC=BN

∴∠CNB=180°-60°)=60°,

∴∠MCN=180°-60°-75°=45°;

②当∠A的度数变化时,∠MCN的度数不变化,理由如下:

∵∠AMC=180°-A),∠BNC=180°-B),

∴∠MCN=180°-AMC-BNC=(∠A+B=45°;

3AN2+BM2=MN2理由如下:

如图,作△CAN关于CN所在直线的轴对称△CPN,连接MP

CP=CAPN=AN,∠ACN=PCN,∠CPN=A=45°,

AC=BC

CP=CB

∵∠ACB=90°,∠MCN=45°,

∴∠MCP+NCP=45°,∠ACN+BCM=45°,

∴∠MCP=MCB

在△BCM和△PCM中,

∴△BCM≌△PCMSAS),

MP=MB,∠MPC=B=45°,

∴∠MPN=MPC+NPC=90°,

∴在RtPMNPN2+PM2=MN2AN2+BM2=MN2

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