Question

已知二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），且与直线y=kx-4交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果直线y=kx-4经过二次函数的顶点D，且与x轴交于点E，△AEC的面积与△BCD的面积是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线y=kx-4中令x=0，解得y=-4，因而直线与y轴的交点坐标是（0，-4），根据待定系数法就可以求二次函数的解析式．
（2）根据公式可以求出抛物线的顶点坐标，把顶点坐标代入函数y=kx-4就可以求出k的值．

解答：解：（1）在直线y=kx-4中令x=0，
解得y=-4，
因而直线与y轴的交点坐标是（0，-4），
设二次函数的解析式是y=ax²+bx+c．
根据题意得到：

a-b+c=0 9a+3b+c= c=-4

0
解得：

a= 4 3 b= 8 3 c=-4

．
则函数解析式是y=

4

3

x²-

8

3

x-4．
（2）抛物线的顶点D的坐标是（1，-

16

3

），把（1，-

16

3

）代入y=kx-4得到，
解得k=-

4

3

．
则函数的解析式是y=-

4

3

x-4，在解析式中令y=0，
解得x=-3，则E点的坐标是（-3，0）．
则AE=2，△ACE的面积是

1

2

×2×4=4；
过点D作DG⊥y轴与点G，则梯形OGDB的面积是

1

2

×（1+3）×

16

3

=

32

3

；
△CGD的面积是

1

2

×1×

4

3

=

2

3

；
△OBC的面积是

1

2

×3×4=6．
则△BCD的面积=梯形OGDB的面积-△CGD的面积-△OBC的面积=4，
因而，△AEC的面积与△BCD的面积相等．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，是函数与三角形，梯形相结合的题目．