题目内容
已知:如图,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=15 |
(1)求EM的长;
(2)求sin∠EOB的值.
分析:(1)根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长,再由相交弦定理求出EM的长即可;
(2)由(1)中所求EM的长判断出△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF,EF的长,进而求出sin∠EOB的值.
(2)由(1)中所求EM的长判断出△OEM为等腰三角形,过E作EF⊥OM,根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF,EF的长,进而求出sin∠EOB的值.
解答:解:如图,(1)∵DC为⊙O的直径,
∴DE⊥EC(1分)
∵DC=8,DE=
∴EC=
=
=7(2分)
设EM=x,由于M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
由相交弦定理AM•MB=EM•CM,(3分)
即6×2=x(7-x),x2-7x+12=0
解这个方程,得x1=3,x2=4
∵EM>MC
∴EM=4;(5分)
(2)∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=
OM=1
∴EF=
=
=
∴sin∠EOB=
.(8分)
∴DE⊥EC(1分)
∵DC=8,DE=
15 |
∴EC=
DC2-DE2 |
=
64-15 |
设EM=x,由于M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
由相交弦定理AM•MB=EM•CM,(3分)
即6×2=x(7-x),x2-7x+12=0
解这个方程,得x1=3,x2=4
∵EM>MC
∴EM=4;(5分)
(2)∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM,垂足为F,则OF=
1 |
2 |
∴EF=
OE2-OF2 |
16-1 |
15 |
∴sin∠EOB=
| ||
4 |
点评:本题考查的是圆周角定理及等腰三角形的性质,属中学阶段的基本内容.
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