题目内容
已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有实根,(1)求k的范围;
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另外两条边b,c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
分析:(1)根据关于x的一元二次方程有实数根可知△≥0,k≠0,求出k的取值范围即可;
(2)由于a为低或腰不能确定,故应分两种情况进行讨论,
①当a为腰时,b、c中必有一个为1,把x=1代入原方程可求出k的值,进而求出方程的另一根,再根据三角形的三边关系判断出a、b、c的值是否符合题意即可;
②当a为底时,b=c,即方程有两个相等的实数根,由△=0可求出k的值,再求出方程的两个根进行判断即可.
(2)由于a为低或腰不能确定,故应分两种情况进行讨论,
①当a为腰时,b、c中必有一个为1,把x=1代入原方程可求出k的值,进而求出方程的另一根,再根据三角形的三边关系判断出a、b、c的值是否符合题意即可;
②当a为底时,b=c,即方程有两个相等的实数根,由△=0可求出k的值,再求出方程的两个根进行判断即可.
解答:解:(1)∵原方程有实数根
∴△=[2(k+1)2-4k(k-1)]≥0,
∴k≥-
,
∵原方程是一元二次方程,
∴k≠0,
∴k的取值范围是:k≥-
且k≠0;
(2)①当b或c有一个是1时,将x=1代入原方程得k=-
,(4分)
将k=-
代入原方程并化为一般式x2-6x+5=0,
解得方程另一根为5而1,1,5构不成三角形,故舍去;(5分)
②当b,c为腰时,即△=0,此时k=-
(6分)
∴原方程可化为:-
x2+
x-
=0,
解得x1=x2=2,(7分)
∴△ABC的周长为5.(8分)
∴△=[2(k+1)2-4k(k-1)]≥0,
∴k≥-
1 |
3 |
∵原方程是一元二次方程,
∴k≠0,
∴k的取值范围是:k≥-
1 |
3 |
(2)①当b或c有一个是1时,将x=1代入原方程得k=-
1 |
4 |
将k=-
1 |
4 |
解得方程另一根为5而1,1,5构不成三角形,故舍去;(5分)
②当b,c为腰时,即△=0,此时k=-
1 |
3 |
∴原方程可化为:-
1 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
解得x1=x2=2,(7分)
∴△ABC的周长为5.(8分)
点评:本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系,在解答(2)时要注意分类讨论,不要漏解.
练习册系列答案
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已知关于x的一元二次x2-6x+k+1=0的两个实数根x1,x2,
+
=1,则k的值是( )
1 |
x1 |
1 |
x2 |
A、8 | B、-7 | C、6 | D、5 |