Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是

1. A.
   ①③④
2. B.
   ③④⑤
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②⑤

Answer 1

C
分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；
②根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定说法是否正确；
④据①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．
⑤可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．
解答：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正确；
②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌△ABF，
∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故此选项正确；
③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
故③错误；
④∵AB=AC，△ADC旋转90°至△AFB，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
根据旋转的性质可得△ADC≌△ABF，∠ABF=∠ACD=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正确．
⑤∵可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．
故正确的有：①②④．
故选C．
点评：此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．