Question

【题目】如图，在中，,以AB为直径的分别与交于点，过点作于点．

（1）求证：DF是的切线；

（2）若的半径为3，，求阴影部分的面积；

（3）求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）阴影部分的面积是; （3）见解析．

【解析】

（1）连接OD，求出AC∥OD，可得OD⊥DF，根据切线的判定可得结论；

（2）连接OE，过O作OM⊥AC于M，根据含30度直角三角形的性质求出AE、OM的长和∠AOE的度数，然后根据阴影部分的面积＝S扇形AOES△AOE进行计算；

（3）连接BE，AD，DE，根据平行线的性质和圆周角定理求出∠FDC＝∠DAC，然后求出∠DEC＝∠C，根据三线合一得到∠EDF＝∠FDC，即可证明结论．

解：（1）连接OD，

∵AB＝AC，OB＝OD，

∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴AC∥OD，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°，

∵∠FDC＝15°，

∴∠C＝180°90°15°＝75°，

∴∠ABC＝∠C＝75°，

∴∠BAC＝180°∠ABC∠C＝30°，

∴OM＝OA＝×3＝，AM＝，

∵OM⊥AC，

∴AE＝2AM＝，

∵∠BAC＝∠AEO＝30°，

∴∠AOE＝180°30°30°＝120°，

∴阴影部分的面积＝S扇形AOES△AOE＝；

（3）连接BE，AD，DE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴BE∥DF，

∴∠FDC＝∠EBC，

∵∠EBC＝∠DAC，

∴∠FDC＝∠DAC，

∵A、B、D、E四点共圆，

∴∠DEF＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠EDF＝∠FDC，

∴∠EDF＝∠DAC．