题目内容

【题目】如图,在等边ABC中,AB=AC=BC=10厘米,DC=4厘米.如果点M3厘米/秒的速度运动.

(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动.它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等.

①经过2秒后,BMNCDM是否全等?请说明理由.

②当两点的运动时间为多少时,BMN是一个直角三角形?

(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是   厘米/秒.(直接写出答案)

【答案】(1)BMN≌△CDM.理由见解析;②当t=秒或t=秒时,BMN是直角三角形;(2)3.82.6.

【解析】试题分析:①根据题意得CM=BN=6CM,所以BM=4CM=CD.根据“SAS”证明△BMN≌△CDM

②设运动时间为t秒,分别表示CMBN.分两种情况,运用特殊三角形的性质求解:I.∠NMB=90°;Ⅱ.∠BNM=90°;

(2)点M与点N第一次相遇,有两种可能:I.点M运动速度快;Ⅱ.点N运动速度快.分别列方程求解.

试题解析:(1)①△BMN≌△CDM.理由如下:

VN=VM=3厘米/秒,且t=2秒,

CM=2×3=6(cm),

BN=2×3=6(cm),

BM=BCCM=10﹣6=4(cm),

BN=CM,

CD=4(cm),

BM=CD,

ABC是等边三角形,

∴∠B=∠C=60°,

BMNCDM中,

BN=CM,B=∠C,BM=CD,

∴△BMN≌△CDM.(SAS).

②设运动时间为t秒,△BMN是直角三角形有两种情况:

Ⅰ.当∠NMB=90°时,

∵∠B=60°,

∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.

BN=2BM

∴3t=2×(10﹣3t),

∴t=(秒);

Ⅱ.当∠BNM=90°时,

∵∠B=60°,

∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.

BM=2BN

∴10﹣3t=2×3t,

∴t=(秒).

∴当t=秒或t=秒时,△BMN是直角三角形;

(2)分两种情况讨论:

I.若点M运动速度快,则 3×25﹣10=25VN,解得 VN=2.6;

Ⅱ.若点N运动速度快,则 25VN﹣20=3×25,解得 VN=3.8.

故答案为 3.82.6.

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