题目内容
【题目】如图,在等边△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,DC=4厘米.如果点M以3厘米/秒的速度运动.
(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动,点N在线段BA上由B点向A点运动.它们同时出发,若点N的运动速度与点M的运动速度相等.
①经过2秒后,△BMN和△CDM是否全等?请说明理由.
②当两点的运动时间为多少时,△BMN是一个直角三角形?
(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等,点N从点B出发,点M以原来的运动速度从点C同时出发,都顺时针沿△ABC三边运动,经过25秒点M与点N第一次相遇,则点N的运动速度是 厘米/秒.(直接写出答案)
【答案】(1)①△BMN≌△CDM.理由见解析;②当t=秒或t=秒时,△BMN是直角三角形;(2)3.8或2.6.
【解析】试题分析:①根据题意得CM=BN=6CM,所以BM=4CM=CD.根据“SAS”证明△BMN≌△CDM;
②设运动时间为t秒,分别表示CM和BN.分两种情况,运用特殊三角形的性质求解:I.∠NMB=90°;Ⅱ.∠BNM=90°;
(2)点M与点N第一次相遇,有两种可能:I.点M运动速度快;Ⅱ.点N运动速度快.分别列方程求解.
试题解析:(1)①△BMN≌△CDM.理由如下:
∵VN=VM=3厘米/秒,且t=2秒,
∴CM=2×3=6(cm),
BN=2×3=6(cm),
BM=BC﹣CM=10﹣6=4(cm),
∴BN=CM,
∵CD=4(cm),
∴BM=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
在△BMN和△CDM中,
BN=CM,∠B=∠C,BM=CD,
∴△BMN≌△CDM.(SAS).
②设运动时间为t秒,△BMN是直角三角形有两种情况:
Ⅰ.当∠NMB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.
∴BN=2BM,
∴3t=2×(10﹣3t),
∴t=(秒);
Ⅱ.当∠BNM=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.
∴BM=2BN,
∴10﹣3t=2×3t,
∴t=(秒).
∴当t=秒或t=秒时,△BMN是直角三角形;
(2)分两种情况讨论:
I.若点M运动速度快,则 3×25﹣10=25VN,解得 VN=2.6;
Ⅱ.若点N运动速度快,则 25VN﹣20=3×25,解得 VN=3.8.
故答案为 3.8或2.6.