题目内容

将一个三角形旋转，旋转中心应选在

A.
三角形的顶点
B.
三角形的外部
C.
三角形的三条边上
D.
平面内的任意位置

D
分析：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心．
解答：旋转中心可以是任意一点．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质，注意对旋转中心没有限制．

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已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

（2012•海淀区二模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
我们定义：如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α （0°＜α＜360°）后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形．如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形．如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形．
请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：
如图3，在等边△ABC中，E₁、E₂、E₃分别为AB、BC、CA 的中点，P₁、P₂，M₁、M₂，N₁、N₂分别为AB、BC、CA的三等分点．
（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为

（2013•安徽模拟）（1）图①至图③中，AB=

，旋转角∠CAB=30°．
思考：
如图①，当线段AB绕点A旋转至AC的位置时，则点B所经过的路径长为

；图中阴影部分的面积为

探究一
如图②，当线段AB变为以AB为直径的半圆时，将其绕点A旋转至图②中位置，则图中阴影部分的面积为

；
如图③，当线段AB变为等腰直角三角形ADB时，∠ADB=90°，将其绕点A旋转，使点B到点C，点D到点E．求图中阴影部分的面积S．
（2）探究二
图④中，一个不规则的图形，其中AB=a，AD=b，点B旋转到点C，旋转角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），点D旋转到点E，则点B所经过的路径长为

；图中阴影部分的面积为

已知E为正方形ABCD对角线AC上一点（不与A，C重合），将△BCE逆时针旋转可得到△BAF，连接EF．
（1）请指出旋转中心为点

，旋转角为

°；
（2）下列四个结论均为正确结论：①AF=CE；②∠1=∠2；③△BEF为等腰直角三角形；④AE⊥AF；请你选择其中一个结论给予证明．
（3）若AE=5，EF比CE大1，求△AEF的面积．

在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角。
（1）填空：①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（__，__）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（

，90°），得到△ADE，则线段BD的长为_____cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O₁，O₂，O₃分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO₁O₃与△ABI，△CIB与△CAO₂之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O₁O₃与AO₂之间的关系。