Question

（2013•安徽模拟）（1）图①至图③中，AB=

2

，旋转角∠CAB=30°．
思考：
如图①，当线段AB绕点A旋转至AC的位置时，则点B所经过的路径长为

2 π

6

；图中阴影部分的面积为

π

6

；

探究一
如图②，当线段AB变为以AB为直径的半圆时，将其绕点A旋转至图②中位置，则图中阴影部分的面积为

π

6

；
如图③，当线段AB变为等腰直角三角形ADB时，∠ADB=90°，将其绕点A旋转，使点B到点C，点D到点E．求图中阴影部分的面积S．
（2）探究二
图④中，一个不规则的图形，其中AB=a，AD=b，点B旋转到点C，旋转角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），点D旋转到点E，则点B所经过的路径长为

nπa

180

；图中阴影部分的面积为

nπ(a2-b2)

360

．

Answer 1

分析：（1）利用弧长公式直接求出点B所经过的路径长即可；再利用扇形面积公式求出图中阴影部分的面积；
探究一：当线段AB变为以AB为直径的半圆时，S=S_半圆+S_扇形CAB-S_半圆=S_扇形CAB即可求出；如图③：S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，求出即可；
（2）探究二：根据AB=a，旋转角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），利用弧长公式求出，再利用图中阴影部分的面积为S_扇形CAB-S_扇形DAE求出即可．

解答：解：（1）思考：如图①，
∵AB=

2

，旋转角∠CAB=30°，
∴线段AB绕点A旋转至AC的位置时，则点B所经过的路径长为：

30π× 2

180

=

2 π

6

，
阴影部分的面积为：

30π×( 2 )2

360

=

π

6

；
故答案为：

2 π

6

，

π

6

；

探究一：
如图②，当线段AB变为以AB为直径的半圆时，将其绕点A旋转至图②中位置，则图中阴影部分的面积为：
S=S_半圆+S_扇形CAB-S_半圆=S_扇形CAB=

π

6

；
故答案为：

π

6

；

如图③：
S=S_△AEC+S_扇形CAB-S_△ADB，
∵△ADB≌△AEC；
∴S=S_扇形CAB，
=

30π( 2 )2

360

=

π

6

；
故答案为：

π

6

．

（2）探究二：
∵AB=a，旋转角∠CAB=n°（0°＜n＜180°），
∴点B所经过的路径长为：

nπa

180

，
图中阴影部分的面积为：S_阴=S_{不规则图形}+S_扇形CBA-S_{不规则图形}-S_扇形DEA=S_扇形CAB-S_扇形DAE=

nπ(a2-b2)

360

．
故答案为：

nπa

180

，

nπ(a2-b2)

360

．

点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及扇形面积公式的应用，根据图象得出S=S_扇形CAB，以及S=S_扇形CAB-S_扇形DAE是解题关键．