题目内容

【题目】ABC中,∠A90°AB4AC3MAB上的动点(不与AB重合),过M点作MNBCAC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AMx

1)用含x的代数式表示NP的面积S

2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?

3)在动点M的运动过程中,记NP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

【答案】(1.(0x4)(2x=时,O与直线BC相切;(3y=-x2+6x-6,当x=时,y值最大,最大值是2

【解析】试题分析:(1)由于三角形PMNAMN的面积相当,那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积,求三角形AMN的面积可根据三角形AMNABC相似,根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积;

2)当圆OBC相切时,OBC的距离就是MN的一半,那么关键是求出MN的表达式,可根据三角形AMN和三角形ABC相似,得出MN的表达式,也就求出了OBC的距离的表达式,如果过MMQ⊥BCQ,那么MQ就是OBC的距离,然后在直角三角形BMQ中,用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ,然后让这两表示MQ的含x的表达式相等,即可求出x的值;

3)要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面,因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时,x的取值,那么P落点BC上时,MN就是三角形ABC的中位线,此时AM=2,因此可分两种情况进行讨论:

0x≤2时,此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积,三角形PMN的面积(1)中已经求出,即可的xy的函数关系式.2x4时,如果设PMPNBCEF,那么重合部分就是四边形MEFN,可通过三角形PMN的面积-三角形PEF的面积来求重合部分的面积.不难得出PN=AM=x,而四边形BMNF又是个平行四边形,可得出FN=BM,也就有了FN的表达式,就可以求出PF的表达式,然后参照(1)的方法可求出三角形PEF的面积,即可求出四边形MEFN的面积,也就得出了yx的函数关系式.然后根据两种情况得出的函数的性质,以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可.

试题解析:(1∵MN∥BC

∴∠AMN=∠B∠ANM=∠C

∴△AMN∽△ABC

AN=x

S=SMNP=SAMN=.(0x4

2)如图2,设直线BCO相切于点D,连接AOOD,则AO=OD=MN

RtABC中,BC==5

由(1)知△AMN∽△ABC

MN=

OD=

M点作MQBCQ,则MQ=OD=

Rt△BMQRt△BCA中,∠B是公共角,

∴△BMQ∽△BCA

BM= AB=BM+MA=

x=

x=时,O与直线BC相切;

3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连接AP,则O点为AP的中点.

∵MN∥BC

∴∠AMN=∠B∠AOM=∠APB

∴△AMO∽△ABP

∵AM=MB=2

故以下分两种情况讨论:

0x≤2时,y=SPMN=x2

x=2时,y最大=×4=

2x4时,设PMPN分别交BCEF

四边形AMPN是矩形,

∴PN∥AMPN=AM=x

∵MN∥BC

四边形MBFN是平行四边形;

∴FN=BM=4-x

∴PF=x-4-x=2x-4

∵△PEF∽△ACB

()2=

SPEF=x-22

y=SMNP-SPEF=x2-x-22=-x2+6x-6

2x4时,y=-x2+6x-6=-x-2+2

x=时,满足2x4y最大=2

综上所述,当x=时,y值最大,最大值是2

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