题目内容
已知函数y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．分析：将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为x=
=(a-2)+
，因0＜
≤1，a-2＜
≤a-1，故函数的最小值只可能在x取a-2，
时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
| a2-1 |
| a+2 |
| 3 |
| a+2 |
| 3 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
解答：解：∵y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，
∴y=（a+2）(x-
)2+1-
，其对称轴为x=
=(a-2)+
，
因为a为正整数，故因0＜
≤1，a-2＜
≤a-1，
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，
时达到，
（1）当a-1=
时，a=1，此时，x=1使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；
（2）a-2＜
＜a-1时，即a＞1时，由于x是正整数，而
为小数，故x=
不能达到最小值，
当x=a-2时，y1=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y2=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1，
又y1-y2=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值；
综上，x=
（其中a为整数）．
∴y=（a+2）(x-
| a2-1 |
| a+2 |
| (a2-1)2 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
| 3 |
| a+2 |
因为a为正整数，故因0＜
| 3 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，
| a2-1 |
| a+2 |
（1）当a-1=
| a2-1 |
| a+2 |
（2）a-2＜
| a2-1 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
| a2-1 |
| a+2 |
当x=a-2时，y1=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y2=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1，
又y1-y2=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值；
综上，x=
|
点评：本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是用分类讨论的思想进行解题．
练习册系列答案
相关题目