题目内容
【题目】问题的提出:
如果点是锐角
内一动点,如何确定一个位置,使点
到△ABC的三顶点的距离之和
的值为最小?
(1)问题的转化:
把绕点
逆时针旋转
得到
,连接
,这样就把确定
的最小值的问题转化成确定
的最小值的问题了,请你利用图1证明:
.
(2)问题的解决:
当点到锐角
的三顶点的距离之和
的值为最小时,求
的度数.
问题的延伸:
(3)如图2所示,在钝角中,
,
,
,点
是这个三角形内一动点,请你利用以上方法,求点
到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠AMB=120°;(3).
【解析】
(1)证明△AMM'是等边三角形,求出MM'=MA,结合MC=M'C'可得结论;
(2)当B、M、M'、C'在同一直线上时,MA+MB+MC的值为最小,此时∠AMM'=60°,故可得∠AMB=120°;
(3)根据题意作出辅助线,利用旋转的性质求出,求得
和
的长,然后在
中,利用勾股定理求出
的长即可.
(1)如图1,由旋转的性质得:∠MAM'=60°,MA=M'A,
∴△AMM'是等边三角形,
∴MM'=MA,
∵MC=M'C',
∴MA+MB+MC=BM+MM′+M′C′;
(2)如图2,把△AMC绕点A逆时针旋转60度得到△AM′C′,连接MM′,由“问题的转化”可知:当B、M、M'、C'在同一直线上时,MA+MB+MC的值为最小,
由(1)可知△AMM'是等边三角形,则∠AMM'=60°,
∴∠AMB=120°;
(3)如图3,把△AMC绕点A旋转60度得到△AM′C′,且B、M、M'、C'在同一直线上,过点作
延长线的垂线
,垂足为
,
由旋转可得≌
,则
,
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,则
,
∴在中,
,
∴,
∵点B、M、M'、C'在同一直线上,
∴在中,
,
即点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为
.
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