题目内容

【题目】问题的提出:

如果点是锐角内一动点,如何确定一个位置,使点到△ABC的三顶点的距离之和的值为最小?

1)问题的转化:

绕点逆时针旋转得到,连接,这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了,请你利用图1证明:

2)问题的解决:

当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时,求的度数.

问题的延伸:

3)如图2所示,在钝角中,,点是这个三角形内一动点,请你利用以上方法,求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值.

【答案】1)证明见解析;(2)∠AMB=120°;(3

【解析】

1)证明AMM'是等边三角形,求出MM'=MA,结合MC=M'C'可得结论;

2)当BMM'C'在同一直线上时,MA+MB+MC的值为最小,此时∠AMM'=60°,故可得∠AMB=120°

3)根据题意作出辅助线,利用旋转的性质求出,求得的长,然后在中,利用勾股定理求出的长即可.

1)如图1,由旋转的性质得:∠MAM'=60°MA=M'A

∴△AMM'是等边三角形,

MM'=MA

MC=M'C'

MA+MB+MC=BM+MM′+M′C′

2)如图2,把AMC绕点A逆时针旋转60度得到AM′C′,连接MM′,由问题的转化可知:当BMM'C'在同一直线上时,MA+MB+MC的值为最小,

由(1)可知AMM'是等边三角形,则∠AMM'=60°

∴∠AMB=120°

3)如图3,把AMC绕点A旋转60度得到AM′C′,且BMM'C'在同一直线上,过点延长线的垂线,垂足为

由旋转可得,则

,则

∴在中,

∵点BMM'C'在同一直线上,

∴在中,

即点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为

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