Question

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…根据上面的规律求下列各式的值．
（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

99×100

；
（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

97×99

．

Answer 1

分析：（1）根据上述的式子总结出规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，按照此规律把所求式子的每一项拆项化简，抵消合并即可求出值；
（2）根据上述的式子总结出规律为：

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），然后按照此规律把所求式子的每一项拆项化简，抵消合并即可求出值；

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

99×100

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

；

（2）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

97×99

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

97

-

1

99

）
=

1

2

（1-

1

99

）
=

49

99

．

点评：此题有理数的混合运算，是一道规律型题，解答此类题常常认真观察已知的等式，进行分析，归纳总结得到一般性的规律来解决问题．根据题意归纳出一般性的规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本题的关键．