Question

【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）10 （3）存在；（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）将抛物线的解析式设为顶点式，然后将点B代入即可求出抛物线的解析式；

（2）由四边形MNHG为矩形知MN∥x轴，MG∥y轴，故可设出点M坐标，则矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，利用二次函数性质即可求解；

（3）由（2）中知，D与N重合，由已知先求出S△PNC值，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，设出点P坐标，通过推导计算，即可求解出点P的坐标.

（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，

将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，

故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），

则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，

矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，

∵﹣2＜0，故当x＝＝2，C有最大值，最大值为10，

此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；

（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，

则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，

连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK⊥CD于点K，

将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，

OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，

设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），

S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，

解得：PH＝＝HG，

则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，

解得：x＝，

故点P（，），

直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝，

即点P′、P″的坐标分别为(，）、（，）；

故点P坐标为：（，）或（，）或（，）.