题目内容

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)若∠C=30°,求证:BE是△DEC外接圆的切线;
(2)若BE=数学公式,BD=1,求△DEC外接圆的直径.

(1)证明:∵DE垂直平分AC,
∴∠DEC=90°,AE=CE,
∴DC为△DEC外接圆的直径,
取DC的中点O,连结OE,如图,
∵∠ABC=90°,
∴BE为Rt△ABC斜上的中线,
∴EB=EC,
∵∠C=30°,
∴∠EBC=30°,∠EOC=2∠C=60°,
∴∠BEO=90°,
∴OE⊥BE,
而BE为⊙O的半径,
∴BE是△DEC外接圆的切线;

(2)解:∵BE为Rt△ABC斜上的中线,
∴AE=EC=BE=
∴AC=2
∵∠ECD=∠BCA,
∴Rt△CED∽Rt△CBA,
=
而CB=CD+BD=CD+1,
=
解得CD=2或CD=-3(舍去),
∴△DEC外接圆的直径为2.
分析:(1)根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°,AE=CE,利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径;取DC的中点O,连结OE,根据直角三角形斜边上的中线性质得EB=EC,得∠C=∠EBC=30°,则∠EOC=2∠C=60°,可计算出∠BEO=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由BE为Rt△ABC斜上的中线得到AE=EC=BE=,易证得Rt△CED∽Rt△CBA,则=,然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD.
点评:本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点,与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形相似的判定与性质.
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