Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圆的直径．

Answer 1

（1）证明：∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
取DC的中点O，连结OE，如图，
∵∠ABC=90°，
∴BE为Rt△ABC斜上的中线，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOC=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而BE为⊙O的半径，
∴BE是△DEC外接圆的切线；

（2）解：∵BE为Rt△ABC斜上的中线，
∴AE=EC=BE=，
∴AC=2，
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴=，
而CB=CD+BD=CD+1，
∴=，
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圆的直径为2．
分析：（1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连结OE，根据直角三角形斜边上的中线性质得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，则∠EOC=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由BE为Rt△ABC斜上的中线得到AE=EC=BE=，易证得Rt△CED∽Rt△CBA，则=，然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD．
点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点，与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形相似的判定与性质．