题目内容
（2010•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=-| 3 |
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（1）求点C的坐标；
（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．
①当BM=
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②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？
分析：（1）根据线段OA的三等分点确定点C的坐标即可；
（2）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用相似三角形的性质得到点N的坐标，利用平行线的性质及平行四边形的对称性确定点M的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
②根据点C1的坐标，分点H在C点左侧和点H在C点右侧两种情况并利用四边形A'C1HM是梯形求得点M的坐标即可．
（2）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用相似三角形的性质得到点N的坐标，利用平行线的性质及平行四边形的对称性确定点M的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
②根据点C1的坐标，分点H在C点左侧和点H在C点右侧两种情况并利用四边形A'C1HM是梯形求得点M的坐标即可．
解答：
（1）根据题意：A（6，0），B（0，6
）
∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）
（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=
AM
∴BM=
BA
∴BN=
BO
∴N（0，4
）
∵点M在直线y=-
x+6
上
∴M（2，4
）
∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C1、C2点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l2必过点M（2，4
）
∴直线l2的解析式为：y=2
x
②当C1（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC1M是梯形
∵A'M与HC1不平行
∴A'H∥MC1此时M（2，4
）
第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C1HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC1的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6
∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，
）
当C2（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C2点左侧时，M（4，2
）
第二种情况：H在C2点右侧时，M（
，
）
综上所述，所求M点的坐标为：M（2，4
），M（5，
），M（4，2
）或M（
，
）．
（1）根据题意：A（6，0），B（0，6| 3 |
∵C是线段OA的三等分点
∴C（2，0）或C（4，0）
（2）①如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
则△BMN∽△BAO
∵BM=
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∴BM=
| 1 |
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∴BN=
| 1 |
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∴N（0，4
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∵点M在直线y=-
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∴M（2，4
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∵△A'C'M是由△ACM绕点M旋转180°得到的
∴A'C'∥AC
∴无论是C1、C2点，四边形A'CAC'是平行四边形且M为对称中心
∴所求的直线l2必过点M（2，4
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∴直线l2的解析式为：y=2
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②当C1（2，0）时，
第一种情况：H在C点左侧
若四边形A'HC1M是梯形
∵A'M与HC1不平行
∴A'H∥MC1此时M（2，4
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第二种情况：H在C点右侧
若四边形A'C1HM是梯形
∵A'M与C1H不平行
∴A'C1∥HM
∵M是线段AA'的中点
∴H是线段AC1的中点
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6
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∴∠OAB=60°
∴点M的横坐标为5
∴M（5，
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当C2（4，0）时，同理可得
第一种情况：H在C2点左侧时，M（4，2
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第二种情况：H在C2点右侧时，M（
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综上所述，所求M点的坐标为：M（2，4
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点评：本题考查了一次函数的性质，题目中还渗透了相似及旋转的性质，综合性较强，难度较大．
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