题目内容
【题目】已知CA＝CB，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线．E，F是直线CD上的两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD在∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA数量关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，补全图形并证明．
（2）如图3，若直线CD在∠BCA的外部，∠BCA＝α，请用等式直接写出EF，BE，AF三条线段的数量关系 ．（不要求证明）
【答案】（1）①=，=；②α+∠BCA＝180°，补全图形和证明见解析；（2）EF＝BE+AF
【解析】
（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；
（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．
解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，EF＝|CF﹣CE|＝||BE﹣AF；
故答案为：＝、＝；
②α+∠BCA＝180°，补全图形如下：
在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α，
∵∠BCA＝180°﹣α，
∴∠BCA＝∠CBE+∠BCE，
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CE﹣CF，
∴EF＝|BE﹣AF|；
故答案为：α+∠BCA＝180°．
（2）EF＝BE+AF，
如图3，
∵∠BEC＝∠CFA＝α，α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF．
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
故答案为：EF＝BE+AF．
