题目内容

【题目】如图,边长为4的正方形ABCD内接于⊙O,点E是弧AB上的一动点(不与点A、B重合),点F是弧BC上的一点,连接OE,OF,分别与交AB,BC于点G,H,且∠EOF=90°,连接GH,有下列结论:

①弧AE=弧BF;②△OGH是等腰直角三角形;③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;④△GBH周长的最小值为4+2

其中正确的是_____.(把你认为正确结论的序号都填上)

【答案】①②④

【解析】

①根据ASA可证△BOE≌△COF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,根据等弦对等弧得到 ,可以判断①;
②根据SAS可证△BOG≌△COH,根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°,OG=OH,根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形,可以判断②;
③通过证明△HOM≌△GON,可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积,可以判断③;
④根据△BOG≌△COH可知BG=CH,则BG+BH=BC=4,设BG=x,则BH=4-x,根据勾股定理得到GH== ,可以求得其最小值,可以判断④.

解:①如图所示,

∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE与△COF中,


∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
,①正确;
②∵OC=OB,∠COH=∠BOG,∠OCH=∠OBG=45°,
∴△BOG≌△COH;
∴OG=OH,∵∠GOH=90°,
∴△OGH是等腰直角三角形,②正确.

③如图所示,

∵△HOM≌△GON,
∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积,③错误;
④∵△BOG≌△COH,
∴BG=CH,
∴BG+BH=BC=4,
BG=x,则BH=4-x,
GH==
∴其最小值为4+2,④正确.
故答案为:①②④

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