题目内容

【题目】如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点.

(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),

∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0, )三点在抛物线上,

解得

∴抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣


(2)

解:∵抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣

∴其对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2,

连接BC,如图1所示,

∵B(5,0),C(0,﹣ ),

∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),

解得

∴直线BC的解析式为y= x﹣

当x=2时,y=1﹣ =﹣

∴P(2,﹣


(3)

解:存在.

如图2所示,

①当点N在x轴下方时,

∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣ ),

∴N1(4,﹣ );

②当点N在x轴上方时,

如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,

在△AN2D与△M2CO中,

∴△AN2D≌△M2CO(ASA),

∴N2D=OC= ,即N2点的纵坐标为

x2﹣2x﹣ =

解得x=2+ 或x=2﹣

∴N2(2+ ),N3(2﹣ ).

综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣ ),(2+ )或(2﹣ ).


【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三点代入求出a、b、c的值即可;(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.

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