Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．在这种情况下请你解决以下问题：

（1）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形；

（2）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；

（3）在整个运动过程中是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）不存在，理由详见解析；（3）存在，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形．

【解析】

（1）由题意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．再根据矩形的判定进行计算即可得到答案．

（2）要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．再题意知当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，则DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，即可由菱形的判定得到答案．

（3）分三种情况讨论：①当QC＝DC时，即2t＝10，∴t＝5．

②当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ，由勾股定理得到DC＝10．则t＝6．

③当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．计算得到t＝．

解：（1）如图，由题意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t．

要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需满足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6．

所以当t＝6时，四边形PQBA是矩形．

（2）不存在．理由：

要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．

由例知当t＝4时，四边形PQCD是平行四边形．

此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，

所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．

（3）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：

①如图1，当QC＝DC时，即2t＝10，∴t＝5．

图1

②如图2，当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ，

图2

则QH＝CH＝CQ＝t．

在Rt△DHC中，DH＝8，CH＝BC－AD＝6，

∴DC＝＝10．

∴t＝6．

③如图3，当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，

图3

DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t－6|．

在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2．

∴82＋|2t－6|2＝(2t)2．

解得t＝．

综上，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形．