题目内容

【题目】定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.

性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.

理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD

应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.

1求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;

2连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.

探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.

【答案】1证明见解析;212.探究:△ABC的面积是2或2

【解析】

试题分析:1利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;

2△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.

探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.

试题解析:1∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,

∵AE=BF,

∴四边形ABFE是平行四边形,

∴OE=OB,

∴△AOE和△AOB是友好三角形.

2∵△AOE和△DOE是友好三角形,

∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,

∵△AOB与△AOE是友好三角形,

∴S△AOB=S△AOE

∵△AOE≌△FOB,

∴S△AOE=S△FOB

∴S△AOD=S△ABF

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.

探究:

解:分为两种情况:①如图1,

∵S△ACD=S△BCD

∴AD=BD=AB,

∵沿CD折叠A和A′重合,

∴AD=A′D=AB=×4=2,

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC

∴DO=OB,A′O=CO,

∴四边形A′DCB是平行四边形,

∴BC=A′D=2,

过B作BM⊥AC于M,

∵AB=4,∠BAC=30°,

∴BM=AB=2=BC,

即C和M重合,

∴∠ACB=90°,

由勾股定理得:AC=

∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2

②如图2,

∵S△ACD=S△BCD

∴AD=BD=AB,

∵沿CD折叠A和A′重合,

∴AD=A′D=AB=×4=2,

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC

∴DO=OA′,BO=CO,

∴四边形A′BDC是平行四边形,

∴A′C=BD=2,

过C作CQ⊥A′D于Q,

∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,

∴CQ=A′C=1,

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;

即△ABC的面积是2或2

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网