Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a>0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=。
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度；
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积。

                        图1                                         图2

Answer 1

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）， 将A、B、C三点的坐标代入得，解得：， 所以这个二次函数的表达式为：； （2）存在，F点的坐标为（2，-3） 易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：， ∴E点的坐标为（-3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）  代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，-3）；
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得 ， ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，-r）， 代入抛物线的表达式，解得， ∴圆的半径为或；
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，-3），直线AG为， 设P（x，），则Q（x，-x-1），PQ， 当时，△APG的面积最大， 此时P点的坐标为，的最大值为。