题目内容
如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2
,圆A的半径1,点O在BC边上运动(与点B,C不重合),设BO=x,△AOC的面积是y.
(1)求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)以点O为圆心,BO为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.
2 |
(1)求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)以点O为圆心,BO为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.
分析:(1)由∠BAC=90°,AB=AC=2
,根据勾股定理即可求得BC,且∠B=∠C,然后作AM⊥BC,由S△AOC=
OC•AM,即可求得y关于x的函数解析式;
(2)由⊙O与⊙A外切或内切,即可求得ON的值,继而求得△AOC的面积.
2 |
1 |
2 |
(2)由⊙O与⊙A外切或内切,即可求得ON的值,继而求得△AOC的面积.
解答:解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC=2
,
由勾股定理知BC=
=4,且∠B=∠C,
作AM⊥BC,
则∠BAM=45°,BM=CM=2=AM,
∵BO=x,则OC=4-x,
∴S△AOC=
OC•AM=
×(4-x)×2=4-x,
即y=4-x (0<x<4);
(2)①作AD⊥BC于点D,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=4,
∴AD为BC边上的中线,
∴AD=
BC=2,
∴S△AOC=
OC•AD,
∵BO=x,△AOC的面积为y,
∴y=4-x(0<x<4),
②过O点作OE⊥AB交AB于E,
∵⊙A的半径为1,OB=x,
当两圆外切时,
∴OA=1+x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE=
x,
∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(1+x)2=(2
-
x)2+(
x)2,
∴x=
,
∵△AOC面积=y=4-x,
∴△AOC面积=
;
当两圆内切时,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(x-1)2=(2
-
x)2+(
x)2,
∴x=
,
∴△AOC面积=y=4-x=4-
=
,
∴△AOC面积为
或
.
2 |
由勾股定理知BC=
8+8 |
作AM⊥BC,
则∠BAM=45°,BM=CM=2=AM,
∵BO=x,则OC=4-x,
∴S△AOC=
1 |
2 |
1 |
2 |
即y=4-x (0<x<4);
(2)①作AD⊥BC于点D,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=4,
∴AD为BC边上的中线,
∴AD=
1 |
2 |
∴S△AOC=
1 |
2 |
∵BO=x,△AOC的面积为y,
∴y=4-x(0<x<4),
②过O点作OE⊥AB交AB于E,
∵⊙A的半径为1,OB=x,
当两圆外切时,
∴OA=1+x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE=
| ||
2 |
∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(1+x)2=(2
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴x=
7 |
6 |
∵△AOC面积=y=4-x,
∴△AOC面积=
17 |
6 |
当两圆内切时,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(x-1)2=(2
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
∴x=
7 |
2 |
∴△AOC面积=y=4-x=4-
7 |
2 |
1 |
2 |
∴△AOC面积为
17 |
6 |
1 |
2 |
点评:此题考查了相切两圆的性质,三角形面积的求解方法,以及勾股定理的应用等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
练习册系列答案
相关题目