Question

如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF．
（1）若取AE的中点P，求证：BP=

1

2

CF；
（2）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针方向旋转α（0＜α＜360°），如图②，是否存在某位置，使得AE∥BF？若存在，求出所有可能的旋转角α的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设正方形的边长为4a，则BE=AE=2a，由BE=BF得到BF=2a，所以CF=6a，由点P为AE的中点得EP=a，则BP=3a，由此得到BP=

1

2

CF；
（2）由（1）得到BE=BF=

1

2

AB，∠EBF=90°，当AE∥BF时，则∠AEB=∠EBF=90°，所以∠BAE=30°，则∠ABE=60°，即α=60°，易得α=300°时，AE∥BF．

解答：（1）证明：设正方形的边长为4a，
∵点E是AB的中点，
∴BE=AE=2a，
∵BE=BF，
∴BF=2a，
∴CF=4a+2a=6a，
∵点P为AE的中点，
∴EP=a，
∴BP=2a+a=3a，
∴BP=

1

2

CF；

（2）存在．
∵AE∥BF，
而BE=BF=

1

2

AB，∠EBF=90°，
∴∠AEB=∠EBF=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠ABE=60°，即α=60°，
当△BEF绕点B逆时针方向旋转60°时，AE∥BF，此时α=300°，
∴旋转角α为60°或300°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．