题目内容
如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（
，
），使得四边形ABPM为等腰梯形；
（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴
，
解得a=
，b=
，
∴抛物线解析式为y=
x2+
x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，
），∵点M在抛物线上，∴M（t，
t2+
t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA-yM=2-（
t2+
t）=
t2-
t+2，BH=PN=
．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴
t2-
t+2=
，
化简得3t2-8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=
，
∴点P的坐标为（
，
）
∴存在点P（
，
），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=-x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，-a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=
，
∴点Q的坐标为（a，
）．
解法一：
设AB与OC相交于点J，
∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴
=
∴HT=
=
=2-a，
KT=
A′T=
（3-a），A′Q=yA′-yQ=（-a+3）-
=3-
a．
S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ
=
KT•A′T-
A′Q•HT
=
•
•（3-a）-
•（3-
a）•（-a+2）
=
a2+
a-
=
（a-
）2+
由于
＜0，
∴在线段AC上存在点A′（
，
），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
．
解法二：
过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得
①
由△RKH∽△A′O′B′，得
②
由①，②得KH=
OH，
OK=
OH，KT=OT-OK=a-
OH ③
由△A′KT∽△A′O′B′，得
，
则KT=
④
由③，④得
=a-
OH，即OH=2a-2，RH=a-1，所以点R的坐标为R（2a-2，a-1）
S四边形RKTQ=S△QOT-S△ROK=
•OT•QT-
•OK•RH
=
a•
a-
（1+
a-
）•（a-1）
=
a2+
a-
=
（a-
）2+
由于
＜0，
∴在线段AC上存在点A′（
，
），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
．
解法三：
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=
，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（-a+3）•
=
a+
，
∴OK=OT-KT=a-（
a+
）=
a-
，
过点R作RH⊥x轴于H，
∵cot∠OAB=tan∠RKH=
=2，
∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH=
=
=
，
∴2RH=OK+KH=
a-
+
RH，
∴RH=a-1，OH=2（a-1），
∴点R坐标R（2a-2，a-1）
S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=
•KT•A′T-
A′Q•（xQ-xR）
=
•
•（3-a）-
•（3-
a）•（-a+2）
=
a2+
a-
=
（a-
）2+
由于
＜0，
∴在线段AC上存在点A′（
，
），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为
．
点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（
，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴
，解得a=
，b=，∴抛物线解析式为y=
x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，
），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA-yM=2-（
t2+t）=t2-t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴
t2-t+2=，化简得3t2-8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=
，∴点P的坐标为（
，）∴存在点P（
，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=-x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，-a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=
，∴点Q的坐标为（a，
）．解法一：
设AB与OC相交于点J，
∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴
=∴HT=
==2-a，KT=
A′T=（3-a），A′Q=yA′-yQ=（-a+3）-=3-a．S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ
=
KT•A′T-A′Q•HT=
••（3-a）-•（3-a）•（-a+2）=
a2+a-=（a-）2+由于
＜0，∴在线段AC上存在点A′（
，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：
过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得
①由△RKH∽△A′O′B′，得
②由①，②得KH=
OH，OK=
OH，KT=OT-OK=a-OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得
，则KT=
④由③，④得
=a-OH，即OH=2a-2，RH=a-1，所以点R的坐标为R（2a-2，a-1）S四边形RKTQ=S△QOT-S△ROK=
•OT•QT-•OK•RH=
a•a-（1+a-）•（a-1）=
a2+a-=（a-）2+由于
＜0，∴在线段AC上存在点A′（
，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=
，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（-a+3）•
=a+，∴OK=OT-KT=a-（
a+）=a-，过点R作RH⊥x轴于H，
∵cot∠OAB=tan∠RKH=
=2，∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH=
==，∴2RH=OK+KH=
a-+RH，∴RH=a-1，OH=2（a-1），
∴点R坐标R（2a-2，a-1）
S四边形RKTQ=S△A′KT-S△A′RQ=
•KT•A′T-A′Q•（xQ-xR）=
••（3-a）-•（3-a）•（-a+2）=
a2+a-=（a-）2+由于
＜0，∴在线段AC上存在点A′（
，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、相似三角形、图形的平移以及几何图形面积的求法，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
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