题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,AB=9,AD=4. E为CD边上一点,CE=6. 点P从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.
⑴求AE的长;
⑵当t为何值时,△PAE为直角三角形?
⑶是否存在这样的t,使EA恰好平分∠PED,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)5;(2)6或;(3)
.
【解析】试题分析:(1)在直角△ADE中,利用勾股定理进行解答;
(2)需要分类讨论:AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形;
(3)假设存在.利用角平分线的性质,平行线的性质以及等量代换推知:∠PEA=∠EAP,则PE=PA,由此列出关于t的方程,通过解方程求得相应的t的值即可.
试题解析:(1)∵矩形ABCD中,AB=9,AD=4,
∴CD=AB=9,∠D=90°,
∴DE=9﹣6=3,
∴AE==5;
(2)①若∠EPA=90°,t=6;
②若∠PEA=90°,,
解得t=.
综上所述,当t=6或t=时,△PAE为直角三角形;
(3)假设存在.
∵EA平分∠PED,
∴∠PEA=∠DEA.
∵CD∥AB,
∴∠DEA=∠EAP,
∴∠PEA=∠EAP,
∴PE=PA,
∴,
解得t=.
∴满足条件的t存在,此时t=.
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