题目内容
如图,已知A(0,1)、C(4,3)、E,P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的一个动点,点D在y轴,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.
(1)说明点A、C、E在一条直线上;
(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;
(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.
解析:
解: (1)如图,由题意,A(0,1)、C(4,3)确定的解析式为:y=x+1.将点E的坐标E代入y=x+1中,左边=,右边=×+1=, ∵左边=右边,∴点E在直线y=x+1上,即点A、C、E在一条直线上. (2)解法一:能.由于动点P在矩形ABCD内部,∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下. 解法二:能.∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为,且P在矩形ABCD内部, ∴1<<3,由1<1-得>0,∴a<0,∴抛物线的开口向下. (3)不能,只能确定a、b的取值范围. 连接GA、FA,∵S△GAF-S△FAO=3 ∴GO·AO-FO·AO=3 ∴OA=1, ∴GO-FO=6. 设F(x1,0)、G(x2,0),则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2, 又∵a<0,∴x1·x2=<0,∴x1<0<x2, ∴GO=x2,FO=-x1,∴x2-(-x1)=6,即x2+x1=6,∵x2+x1=,∴=6, ∴b=-6a,∴抛物线解析式为:y=ax2-6ax+1,其顶点P的坐标为(3,1-9a), 由方程组得ax2-(6a+)x=0 ∵顶点P在矩形ABCD内部,∴1<1-9a<3,∴<a<0. ∴x=0或x==6+. 当x=0时,即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点,则有0<6+≤,解得≤a< 综合得<a<.∵b=-6a,∴<b<. |
A、
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B、
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C、
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D、
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