题目内容

【题目】(本小题满分11分)已知ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.

(1)如图1,过点A作AFAB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断CDF的形状并证明;

(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.

【答案】见解析

【解析】(1)CDF是等腰直角三角形,(1分)

理由如下:

AFAD,ABC=90°,∴∠FAD=DBC,(2分)

FAD与DBC中,∴△FAD≌△DBC(SAS),(3分)

FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,(4分)

∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=DCB,

∵∠BDC+DCB=90°,∴∠BDC+FDA=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.(5分)

(2)作AFAB于A,使AF=BD,连接DF,CF,如图,

AFAD,ABC=90°,∴∠FAD=DBC,

FAD与DBC中,

∴△FAD≌△DBC(SAS),FD=DC,∴△CDF是等腰三角形,(6分)

∵△FAD≌△DBC,∴∠FDA=DCB,

∵∠BDC+DCB=90°,∴∠BDC+FDA=90°,

∴△CDF是等腰直角三角形,(7分)

∴∠FCD=45°,(8分)

AFCE,且AF=CE,四边形AFCE是平行四边形,(10分)

AECF,∴∠APD=FCD=45°.(11分)

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